C?LCULO DIFERENCIAL EM R

6.3.1.1 A forma indeterminada 0 . .

Quando por exemplo f(x) = 0 e g(x) =  (pode ser \pm \infty ), tem-se: [ f(x)].[ .g(x) ] = f(x) g(x) = 0.. Este limite pode ser calculado utilizando a regra de L'Hospital, segundo uma das seguintes transformações:

1ª. f . g = e resulta da forma .

2ª. f . g = e resulta da forma .

Observação 6.10

i) Quando um dos fatores é uma função transcendente com derivadas algébricas, convém considerar este fator como o numerador antes de utilizar a regra de L'Hospital.

ii) Não confundir com a Propriedade (3.9)-(d) o valor de um dos limites não é um número real.

Exemplo 6.40

Calcular [ tan x . Ln(sen x)]

Solução

Observe que o limite é da forma 0.  , aplicando a regra precedente e da Observação (6.10) tem-se:

[tan x . Ln(sen x)] = é da forma .

Logo, [tan x . Ln(sen x)] = = - (cos x)(sen x)= 0 .

Portanto, [tan x .Ln (sen x)]=0 .

6.3.1.2 A forma indeterminada  - .

Por exemplo, se f(x) =  e g(x) = = , tem-se: f(x) - g(x) =  -  .

Este limite pode ser calculado utilizando a regra de L'Hospital, segundo a transformação: f.g = f.g[ - ] .

Exemplo 6.41

Calcular [ - csc x].

Solução

Tem-se [ - csc x] = [ ][ - ] = =

= = = = 0

Portanto, [ - csc x] = 0 .

6.3.1.3 A formas indeterminadas 00, 0 e 1.

Todas estas formas são redutíveis à forma 0 . , se ao calcular o limite utilizamos a propriedade de logaritmo que diz: f(x)^{g(x)} = e^{g(x).Ln[f(x)]}.

Exemplo 6.42

Calcular [x + sen x]tan x.

Solução

Observe que: [x + sen x]tan x = e^{ tan x . Ln(x + sen x)} (6.4)

Por outro lado, tan x. Ln(x+ sen x) = = =

= (1 + cos x). = (-2) = (-2)(0) =0 .

Na expressão (6.4) tem-se [x + \sen x]tan x = e^{ tan x.Ln(x + sen x)} = e0 = 1.

Portanto, [x + sen x]tan x = 1 .

Exemplo 6.43

Calcular [tan x] - x.

Solução

Tem-se : [tan x] - x = e^{ ( - x)Ln [tan x] } (6.5)

Por outro lado, ( - x)Ln [tan x] = = =

= = = = 0 .

Em (6.5) segue-se que, [tan x] - x = e^{ ( - x)Ln [tan x] } = e^0 = 1 .

Portanto, [tan x] - x = 1 .

Exemplo 6.44

Calcular [1+x2]^{ }.

Solução

Este limite é da forma 1, e tem-se: [1+x^2]^{ } = e^{ .

Para o calculo do limite do expoente de e segue-se:

= =

. = (1) = 1 .

Portanto, [1+x^2]^{ } = e^1 = e .

Exemplo 6.45

Calcular xx.

Solução

O limite podemos escrever na forma:

xx = e^{ x.Ln x} (6.6)

Tem-se: x.Ln x = = = (-x) = 0 .

Portanto, em (6.6) xx = e^0 = 1 .

Exemplo 6.46

Mostre que existe, porém não é necessário aplicar a regra de L'Hospital.

Solução

Quando x  , temos que y =  0 , logo

= =

Como cumpre-se a desigualdade | sen |  1 ( é limitada), então ysen = 0 , conseqüentemente = 1 . Portanto = 1 .

Não podemos aplicar a regra de L'Hospital, observe que é da forma = = ?

Exemplo 6.47

a) Dar um exemplo de uma função f(x) para o qual existe f(x) , porém não existe .f'(x).

b) Mostre que, se existem f(x) e f'(x) , então .f'(x) =0.

c) Mostre que se existe .f(x) e existe .f''(x) e também .f''(x) = 0 .

Solução (a)

É suficiente considerar a função f(x) = .

Observe que f(x) = = 0 porém; f'(x) = = 2cosx2 - . No limite .f'(x) = [ ] = Não existe - 1 = ?

Solução ( b)

Suponhamos que f'(x) = L > 0 . Então existe algum N tal que | f'(x) - L | < para x > N , isto implica que f'(x) > .

Porém segundo o teorema do valor médio isto também implica que

f(x) > f(N) + para x > N

o que significa que f(x) não existe. De modo análogo mostra-se que não pode acontecer .f'(x) = L < 0 . Portanto .f'(x) = 0.

Solução c)

Seja .f''(x) = L > 0 , então o mesmo que na parte (a) teríamos que f'(x) = . Aplicando novamente o teorema do valor médio mostra-se que f(x) = , isto é contradição com a hipótese. De modo análogo não pode acontecer f''(x) = L < 0 .

Portanto f''(x) = 0 .

Em geral, se existem f(x) e .f(k)(x) , então f'(x) = f''(x) = f'''(x) = . . . = f(k)(x) = 0 k  N.

Exercícios 6-3

1. Calcular os seguintes limites:

1. 2. 3.

4. 5. 6..

7 8.. 9

10. 11 12. [Ln x + ]

13. 14. 15. [ - cot x ]

16. senxx 17. 18. [ - x.tan x]

19. 20. [ - ] 21. x^{ }

22. 23. 24. (1 - ex)Ln(sen x)

25. 26. x . (Ln | x | )2 27.

28. 29. [ - ] 30.

31 [ ]^{ } 32. [ - ]

33. [ - ]

2. Verificar a validade das seguintes igualdades:

1. =

2. =

3. Onde se encontra o erro na aplicação da regra de L'Hospital?

= = = 3

Na verdade o limite é -4 .

4. Determine os seguintes limites:

a) b)

5. Determine f'(0) se: f(x) = se x  0, f(0) = 0, g(0) = g'(0) = 0 e g''(0) = 17 .

6. Mostre as seguintes regras de L'Hospital:

1. Se f(x) = g(x) = 0 e = L , então = L,

(análogo para limites á esquerda).

2. Se f(x) = g(x) =  e = 0 , então = ,

(análogo para -  ou se x  a+ ou x  a- )

3. Se f(x) = g(x) = 0 e = L , então = L .

4. Se f(x) = .g(x) = 0 e =  , então = .

7. Mostre que = 0 , porém não podemos calcular aplicando a regra de L'Hospital.

8. Determine os limites das seguintes funções:

1. senxx 2. x2.Ln x 3. [ - ]

4. (x+1)Ln x 5. 6. [ ]

7. 8. [ - ] 9. [ - ]

10. 11. ( - 2x)cos x 12.

9. Verificar o cálculo dos seguintes limites:

1. x.cot x = 2. [ - cot2x]=

3. =e-6 4. =

10. Qual dos triângulos retângulos de perímetro dado 2p , tem maior área ?

11. De uma folha circular, temos que cortar um setor de modo que podamos construir um funil de maior capacidade possível. Determine o ângulo  central do setor.